Question

（11分）（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　_________　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

Answer

（1）DE=BC；

（2）BF+BP=DE；

（3）BF﹣BP=DE．

【解析】

试题分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；

（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE= BC可得到BF+BP=DE；

（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP= DE．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，

∵点D是AB的中点，

∴DB=DC，

∴△DCB为等边三角形，

∵DE⊥BC，

∴DE=BC；

故答案为DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

而∠CDB=60°，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中

DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，

∴△DCP≌△DBF（SAS），

∴CP=BF，

而CP=BC﹣BP，

∴BF+BP=BC，

∵DE=BC，

∴BC=DE，

∴BF+BP=DE；

（3）如图，

与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

而CP=BC+BP，

∴BF﹣BP=BC，

∴BF﹣BP=DE．

考点：1.全等三角形的判定与性质2.等边三角形的判定与性质3.含30度角的直角三角形．