Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）试判断BF与AE有什么样的数量关系．并说明理由；

（2）若CD=2，求AF的长．

Answer

（1）BF=2AE．理由见解析；

（2）AF=2．

【解析】

试题分析：（1）判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得解；

（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=FC．

试题解析：（1）BF=2AE．

理由如下：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，，

∴△ADC≌△BDF（ASA），

∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

（2）∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=2，

在Rt△CDF中，CF==2，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2．

考点：1.全等三角形的判定与性质2.等腰直角三角形．