Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，点D在直线上，D的横纵坐标之积为2，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．

（1）求证：AD平分∠CDE；

（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD•BD为定值；

（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，y=x-1.

【解析】

试题分析：（1）由于DE⊥y轴，DC⊥x轴，不难得出∠EDC=90°，因此要证AD平分∠CDE，需证得∠ADC或∠ADE为45°，根据直线AB的解析式可得出A（-b，0），B（0，b），因此OA=OB，即三角形OAB是等腰直角三角形，即可证得∠ADC=∠ABO=45°，由此可得证；

（2）在（1）中已经证得三角形ADC是等腰三角形，同理可得出三角形BDE也是等腰三角形，因此AD= CD，BD=DE，那么AD•BD=2CD•DE，而CD和DE的长，正好是反比例函数图象上D点的横坐标与纵坐标，由此可得出AD•BD是个定值；

（3）如果四边形OBCD是平行四边形，需要满足的条件是OB=CD，OA=AC，可根据这个条件设B、D的坐标，然后将D点坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出D点坐标，也就得出了B点的坐标，然后用待定系数法即可求得直线的解析式．

试题解析：（1）证明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．

∴∠DAC=∠OAB=45°

又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴

∴∠ACD=∠CDE=90°

∴∠ADC=45°

即AD平分∠CDE．

（2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

同理可得，△BDE是等腰直角三角形，

∴AD=CD，BD=DE．

∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4为定值．

（3）【解析】
存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．

若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD．

由（1）知AO=BO，AC=CD，

设OB=a（a＞0），

∴B（0，-a），D（2a，a），

∵D的横纵坐标之积为2，

∴点D在双曲线y=上，

∴2a•a=2，

∴a1=-1（舍去），a2=1，

∴B（0，-1）．

又∵B在y=x+b上，

∴b=-1．

即存在直线：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．

考点：1.一次函数综合题；2.等腰直角三角形；3.平行四边形的判定与性质．