Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，M为DB的中点，连接EC，N是EC的中点，连接DN并延长交AC于点F．

求证：（1）≌；

（2）．

Answer

【解析】

试题分析：(1)由已知可得∠EDA=∠BAC，从而可得ED∥FC，可得∠EDN=∠CFN，根据EN=CN利用AAS即可证得．

(2)连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF，首先得出△EDM≌△FBM（SAS），进而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出EC=FC，由辅助线的作法及已知可知MN是△ECF的中位线，从而可知MN与CF的关系，进而可得MN与EC的数量关系．

试题解析：（1）∵△ABC是等腰Rt△ABC和△AED是等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，

∴∠EAD=∠EDA=∠BAC =∠ABC=45°,

∴∠EAC=90°,

∴ED∥FC,

∴∠EDN=∠CFN,

∵N是EC的中点,

∴EN=CN,

又∵∠END=∠CNF

∴△EDN≌△CFN（AAS）

（2）连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF．

∵BM=MD,∠EMD=∠BMF，

∴△EDM≌△FBM

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°

∴∠FBC=∠EAC=90°

∴△EAC≌△FBC

∴FC=EC,

又点M、N分别是EF、EC的中点，

∴MN=CF，

∴MN=CE．

考点：1、等腰直角三角形的性质；2、三角形全等的判定与性质；3、中位线．