Question

已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD=3，CF=1，求线段AB的长度． 

Answer

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线的性质，得FA=FB，根据HL可以证明Rt△ACF≌Rt△FDB，则∠CAF=∠DFB，结合∠CAF+∠CFA=90°，即可得△ABF是等腰直角三角形,再由勾股定理即可求得AB的长．

试题解析：∵EF是AB的垂直平分线，

∴FA=FB．

∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴△ACF与△FDB是直角三角形．

在Rt△ACF与Rt△FDB中，AC=FD，FA=BF，

∴Rt△ACF≌Rt△FDB（HL）．

∴∠CAF=∠DFB．

∵∠C=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，

∴∠CFA+∠BFD=90°，

∴∠AFB=90°．

∴△ABF是等腰直角三角形．

∵AC =3，CF=1

∴AF2=AC2+CF2=32+12=10．

∴AB=．

考点：1、等腰直角三角形；2、全等三角形的判定；3、线段垂直平分线的性质；4勾股定理．