Question

（10分）如图所示，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由等腰直角△ABC，可证△BDC≌△ADC，得∠DCA=∠DCB=45o，然后求证∠BDM=∠EDC即可.

（2）连接MC，可知△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC。再△ADC≌△EMC即可.

（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15o，

∴∠BAD=∠ABD=45o－15o=30o. ∴BD=AD.

又∵CA=CB，∴△BDC≌△ADC（SAS）.∴∠DCA=∠DCB.

又∵∠ACB=90o，∴∠DCA=∠DCB=45o.

∵∠BDM=∠ABD＋∠BAD=30o＋30o=60o，∠EDC=∠DAC＋∠DCA=15o＋45o=60o，

∴∠BDM=∠EDC. ∴DE平分∠BDC.

（2）如图，连接MC.

∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.

又∵∠EMC=180°－∠DMC=180°－60°=120°，∠ADC=180°－∠MDC=180°－60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC.

又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°.

∴△ADC≌△EMC（AAS）.∴ME=AD=BD.

考点：1.等腰（直角）三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.等边三角形的判定和性质；4.三角形内角和定理.