Question

把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．

（1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）3cm．

【解析】

试题分析：（1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠ABH=∠EBH，∠FDG=∠CDG，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG；

（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，

∵△BEH是△BAH翻折而成，

∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，

∵△DGF是△DGC翻折而成，

∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，

∴∠DBH=∠ABD，∠BDG=∠BDC，

∴∠DBH=∠BDG，

∴△BEH与△DFG中，

∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG，

∴△BEH≌△DFG，

（2）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，

∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，

∴，

∵由（1）知，FD=CD，CG=FG，

∴BF=10-6=4cm，

设FG=x，则BG=8-x，

在Rt△BGF中，

BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，

解得x=3，即FG=3cm．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．矩形的性质．