Question

如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(0<m<2)的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF．

(1)若点E是AB的中点，则m＝      ，S△OEF＝        ；

(2)若S_△OEF＝2S_△BEF，求点E的坐标；

(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE与△BFE全等?若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）m=1；S△OEF= ；

(2)点E的坐标为（1，）

（3）存在；E点坐标为（1， ）

【解析】

试题分析：（1）先得到E点坐标为（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=1，再利用F的纵坐标为2可确定F点坐标为（ ，2），则可根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF进行计算；

（2）由题意，E（1，m)，F(,2),可表示出△BEF的面积,进而可表示出△OEF与△BEF的面积之和,从而可得到m的值，进而得到点E的坐标；

作EH⊥y轴于C，如图，设E点坐标为（1，m），则F（ ，2），：

由于m＜2，则由△MFE≌△BFE得到MF=BF=1-m

ME=BE=2-m，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=m，然后在Rt△MHM中，根据勾股定理得12+m2=（2-km）2，解得m= ，则E点坐标为（1，）

试题解析：（1）∵B点坐标为（1，2），点E是AB的中点，AB⊥X轴，

∴E点坐标为（1，1），

∵点E在函数为y=上，

∴1=，

∴m=1

把y=2代入y=得 =2，解得x=，

∴F点坐标为（ ，2），

∴S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF

=1×2-×1×1 -× ×2-× × 1

= ；

(2)根据题意，E（1，m)，F(,2)

∴S△BEF=，

∵S△OAE=S△OCF=

∴S△BEF+S△OEF=2-m，

∵S△OEF=2S△BEF，

∴S△BEF=，

∴=，

解得，m=2（舍去）,或m=

∴点E的坐标为（1，）

（3）作EH⊥y轴于C，如图，

设E点坐标为（1，m），则F（，2），

当m＜2时，

∵△MFE≌△BFE，

∴MF=BF=1- ，ME=BE=2-m，∠FME=90°，

∴Rt△CFM∽Rt△HME，

∴MF：ME=CF：MH，

∴MH==m，

在Rt△MHM中，HE=1，

∴HE2+MH2=ME2，

∴12+m2=（2-m）2，解得m= ，

∴E点坐标为（1， ）

考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、三角形全等的性质和矩形性质；3、勾股定理；4、相似比