Question

如图，两个边长均为2的正方形ABCD和正方形CDEF，点B、C、F在同一直线上，一直角三角板的直角顶点放置在D点处，DP交AB于点M，DQ交BF于点N．

（1）求证：△DBM≌△DFN；（4分）

（2）延长正方形的边CB和EF，分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：

①线段BG与FH相等吗？说明理由；（4分）

②当线段FN的长是方程的一根时，试求出的值．（4分）

Answer

（1）证明见解析；

（2）①BG=FH．理由见解析；

②．

【解析】

试题分析：（1）如图1，根据正方形的性质就可得出BD=FD，∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，由直角三角形的性质就可以得出∠1=∠ADM，进而得出∠3=∠4，由ASA就可以得出结论；

（2）①如图1，根据正方形的性质及直角三角形的性质就可以得出△GCD≌△HED就有CG=EH，由等式的性质就可以得出结论；

②先解方程x2+2x﹣3=0就可以求出FN=1，得出CN=1，如图2，就可以得出△CND≌△FNH，得出CD=FH=2，就可以得出GB=2，GN=5，由勾股定理就可以求出NH的值，进而得出结论．

试题解析：（1）如图1，

∵四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，

∴BC=FC，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．

∴∠ADM+∠CDM=90°，

∵∠PDQ=90°，

∴∠CDM+∠CDN=90°．

∴∠ADM=∠CDN．

∴∠ADB﹣∠ADM=∠CDF﹣∠CDN，

∴∠MDB=∠NDF．

在△DBM和△DFN中，

，

∴△DBM≌△DFN（ASA）；

（2）①四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，

∴BC=FC=EF，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠CDE=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．

∴∠EDH+∠1=90°，

∵∠PDQ=90°，

∴∠CDM+∠1=90°．

∴∠CDM=∠EDH．

在△CDG和△EDH中，

，

∴△CDG≌△EDH（ASA），

∴CG=EH，

∴CG﹣CB=EH﹣EF，

∴BG=FH．

②∵x2+2x﹣3=0，

∴x1=1，x2=﹣3．

∵FN的长是方程x2+2x﹣3=0的一根，

∴FN=1．

∴CN=1，

∴CN=FN．

如图2，

在△CND和△FNH中，

，

∴△CND≌△FNH（ASA），

∴CD=FH=2，

∴GB=2，

∴GN=5．

在Rt△FNH中，由勾股定理，得NH=．

∴．

考点：四边形综合题．