Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE．

⑴求证：四边形AECF是菱形．

⑵若AB＝2，BF＝1，求四边形AECF的面积．

Answer

（1）证明见解析；

（2）四边形AECF的面积为4﹣2．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据 SAS，可得△ABF与△CBF与△CDE与△ADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；

（2）根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根据勾股定理，可得AC、EF的长，根据菱形的面积公式，可得答案．

试题解析：（1）正方形ABCD中，对角线BD，

∴AB=BC=CD=DA，

∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．

∵BF=DE，

∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．

AF=CF=CE=AE

∴四边形AECF是菱形；

（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得

AD=，

BC=AD=2，

EF=BC﹣BF﹣DE=2﹣1﹣1，

四边形AECF的面积=AD•EF÷2=2×（2﹣2）÷2=4﹣2．

考点：1.正方形的性质2.菱形的判定与性质．