Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合），设BE＝x．

操作：在射线BC上取一点F，使得EF＝BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①当0＜x≤1时， S=EF•FG=x2（0＜x≤1）；

②当1＜x≤1.5时，S=（MN+EF）FN=x﹣（1＜x≤1.5）；

③当1.5＜x≤2时，S=（MD+EC）CD=﹣x+（1.5＜x≤2）

④当2＜x＜3时， S=CE•CM=x2﹣3x+（2＜x＜3）；

（2）存在，其最大值为1．

【解析】

试题分析：（1）本题要分情况进行讨论：

①当EF≤CD，即当0＜x≤1时，重合部分是△EFG，两直角边的长均为x，由此可得出S，x的函数关系式．

②当CD＜EF≤BC，即当1＜x≤1.5时，重合部分是个梯形，可用相似三角形求出梯形的上底的长，进而根据梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式．

③当EF＞BC，但D在EG上或EG右侧，即当1.5＜x≤2时，此时重合部分是个梯形，如果设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的长，而后根据MD=MN﹣DN求出梯形的上底长，进而可按梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式．

④当EF在D点右侧时，即当2＜x＜3时，重合部分是个三角形，先用x表示出两直角边的长，然后按①的方法进行求解即可．

（2）按上面分析的四种情况，分别进行求解，得出不同自变量的取值范围内S的最大值，然后进行比较即可得出S的最大值．

（1）①当0＜x≤1时，FG=EF=x＜1=AB（如图1），

∴S=EF•FG=x2（0＜x≤1）；

②当1＜x≤1.5时，FG=EF=x＞1=AB（如图2），

设EG与AD相交于点M，FG与AD相交于点N，

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠GNM=∠GEF=45°，∠GNM=∠GFE=90°

∴∠MGN=45°

∴MN=GN=x﹣1

S=（MN+EF）FN=x﹣（1＜x≤1.5）；

③当1.5＜x≤2时，（如图3），设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，

∵四边形ABCD是矩形

∴AN∥BF

同理MN=GN=x﹣1

∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90°

∴四边形DCFN是矩形

DN=CF=BF﹣BC=2x﹣3，

MD=MN﹣DN=（x﹣1）﹣（2x﹣3）=2﹣x

S=（MD+EC）CD=﹣x+（1.5＜x≤2）

④当2＜x＜3时，（如图4），

设EG与CD相交于点M

∵四边形ABCD是矩形，△EFG是等腰直角三角形，

∴∠MCE=90°，∠MEC=45°=∠CME

∴CM=CE=3﹣x

∴S=CE•CM=x2﹣3x+（2＜x＜3）；

（2）存在，其最大值为1．

考点：二次函数综合题．