Question

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．

（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；

（2）求△FGC的面积.

Answer

（1）证明见解析；（2）S△FGC＝3.6．

【解析】

试题分析：（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；

（2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案．

（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，

∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，

又∵AG=AG，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∵，

∴△ABG≌△AFG（HL）；

②∵CD=3DE

∴DE=2，CE=4，

设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2

∵GE2=CG2+CE2

∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，

解得 x=3

∴BG=3，

又∵AB＝6，

∴BG= GC；

（2）过C作CM⊥GF于M，

∵BG=GF=3，

∴CG=3，EC=6﹣2=4，

∴GE=5，

CM•GE=GC•EC，

∴CM×5=3×4，

∴CM=2.4，

∴S△FGC＝GF·CM=3.6．

考点：1.翻折变换（折叠问题）2.勾股定理3.正方形的性质．