Question

如图①，两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形，对角线均在坐标轴上，已知菱形EFGH与菱形ABCD的相似比为1:2，∠BAD＝120°，其中AD＝4．

（1）点D坐标为      ，点E坐标为      ；

（2）固定图①中的菱形ABCD，将菱形EFCH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q，如图②所示，

①当α＝30°时，求点P的坐标；

②试探究：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；

Answer

（1）点D坐标为（2，0），点E坐标为（0，1）．

（2）①点P的坐标是（，）；

②当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．理由见解析

【解析】

试题分析：（1）由于∠BAD=120°，易知∠OAD=60°，通过解直角△AOD来求OD、OA的长度；然后利用相似比来求OE的长度；

（2）由（1）和相似多边形的性质知，OA=2，OD=2 ，EF=2．

①作PM⊥OA于点M，易求AM、PM的长度；

②如果四边形AFEP是平行四边形，那么首要满足的条件是AP∥FE，由于∠FEO=60°，因此∠APO必为60°，此时△AOP中，∠APO=∠OAP=60°，因此△AOP是等边三角形，已知两菱形的位似比为2：1，因此EF= AD，也就是EF=AP，由此可得出当α=60°时，AP //EF，且AP=EF，即四边形APEF是平行四边形．

试题解析：（1）如图①，∵∠BAD=120°，四边形ABCD是菱形，

∴∠OAD=∠BAD=60°．

又∵在直角△AOD中，AD=4，

∴OA=AD•cos60°=4×=2，

OD=AD•sin60°=4×=2．

又菱形EFGH与菱形ABCD的相似比为1：2，

∴OE：OA=1：2，

∴OE=1，

∴点D坐标为（2，0），点E坐标为（0，1）．

故答案是：（2，0），（0，1）；

（2）由（1）知，OA=2，OD=2，∠OAD=60°．

∵菱形EFGH与菱形ABCD的相似比为1：2，AD=4，

∴EF=AB=AD=2．

①当α=30°时，∠APO=90°，则AP=OA=1．

如图②，作PM⊥OA于点M．则AM=AP=，PM=，

∵OM=OA-AM=，

∴点P的坐标是（，）；

②当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．理由如下：

∵在旋转过程中，EF=2，∠FEO=60°，∠OAP=60°，当射线OE旋转角度α=60°时，得△AOP是等边三角形，此时∠APO=60°，AP=2，

∴AP=EF，

∴∠APO=∠FEO，得AP∥EF，

∴四边形AFEP是平行四边形，

∴当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．

考点：1、菱形的性质；2、解直角三角形；3、图形的旋转变换；4、相似多边形的性质