Question

如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点B，连结OB．将OB绕点O按顺时针方向旋转90°并延长至A，使OA＝2OB，且点A的坐标为（4，2）．

（1）求过点B的双曲线的函数关系式；

（2）根据反比例函数的图像，指出当x＜－1时，y的取值范围；

（3）连接AB，在该双曲线上是否存在一点P，使得S_△ABP＝S_△ABO，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）双曲线的函数关系式为y=﹣；

（2）当x＜﹣1时，0＜y＜2；

（3）存在；点P坐标为（﹣，4）．

【解析】

试题分析：（1）作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，OA=2OB，再根据OA=2OB，点A的坐标为（4，2）可得出B点坐标，进而得出反比例函数的关系式；

（2）由函数图象可直接得出结论；

（3）根据AB两点的坐标可知AB∥x轴，S△ABP=S△ABO=5，再分当点P在AB的下方与当点P在x轴上方两种情况即可得出结论．

试题解析：（1）作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，

∵OB⊥OA，∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM=∠NBO，

∴△AOM∽△OBN．

∵OA=2OB，

∴，

∵点A的坐标为（4，2），

∴BN=2，ON=1，

∴B（﹣1，2）．

∴双曲线的函数关系式为y=﹣；

（2）由函数图象可知，当x＜﹣1时，0＜y＜2；

（3）存在．

∵yA=yB，

∴AB∥x轴，

∴S△ABP=S△ABO=5，

∴当点P在AB的下方时，点P恰好在x轴上，不合题意舍去；

当点P在x轴上方时，点P在第二象限，得AB•（yP﹣2）=5，即×5×（yP﹣2）=5，解得yP=4，

∴点P坐标为（﹣，4）．

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、待定系数法；3、函数大小的比较；4、反比例函数