Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．

（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

Answer

（1） （2）S的最大值为15 （3）0＜t≤或＜t≤5

【解析】【解析】
（1）∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∴AB===10，

∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．

∵AC为⊙P的直径，

∴△ACD为直角三角形．

∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．

当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，

即：t+t=8，

解得：t=．

∴t=（秒）时，点Q与点D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．

①当0＜t≤时，

DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t．

∴S=DQ•CD=（8﹣t）•t=﹣t2+t．

∵﹣=，0＜＜，

∴当t=时，S有最大值为；

②当＜t≤5时，

DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8．

∴S=DQ•CD=（t﹣8）•t=t2﹣t．

∵﹣=，＜，所以S随t的增大而增大，

∴当t=5时，S有最大值为15＞．

综上所述，S的最大值为15．

（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，

∴△ACQ∽△AOB，

∴=，

即=，

解得t=．

所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤或＜t≤5．

（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；

（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；

（3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时（0＜t≤）；②重合分离后至运动结束（＜t≤5）．