Question

如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上，求此时点F的坐标．

Answer

（1）△AGE与△ECF全等 ①AE=EF，证明见解析 ②F(，−1)

【解析】（1）取AB的中点G，连接EG，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；
②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a-1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；

（1）【解析】
如图1，取AB的中点G，连接EG．

△AGE与△ECF全等．
（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AM=EC．

∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．
②过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，
设BH=a，则FH=a-1，
∴点F的坐标为F（a，a-1）
∵点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，
∴a-1=-a2+a+1，
∴a2=2，a=±（负值不合题意，舍去），
∴a−1＝−1．
∴点F的坐标为F(，−1)．