Question

如图，A（1，0），B（4，0），M（5，3）．动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动．设移动时间为t秒．

（1）当t=1时，求l的解析式；
（2）若l与线段BM有公共点，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在y轴上．如不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x+2 （2）3≤t≤7 （3）t为2时，点M关于l的对称点落在y轴上．

【解析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；
（2）分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围；
（3）找出点M关于直线l在y轴上的对称点C，如解答图所示．求出点C的坐标，然后求出MC中点坐标，最后求出t的值．

【解析】
（1）直线y=-x+b交x轴于点P（1+t，0），
由题意，得b＞0，t≥0，．
当t=1时，-2+b=0，解得b=2，
故y=-x+2．

（2）当直线y=-x+b过点B（4，0）时，
0=-4+b，
解得：b=4，
0=-（1+t）+4，
解得t=3．
当直线y=-x+b过点M（5，3）时，
3=-5+b，
解得：b=8，
0=-（1+t）+8，
解得t=7．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：3≤t≤7．

（3）如图，

过点M作MC⊥直线l，交y轴于点C，交直线l于点D，则点C为点M在坐标轴上的对称点．
设直线MC的解析式为y=x+m，则
3=5+m，解得m=-2，
故直线MC的解析式为y=x-2．
当x=0时，y=0-2=-2，
则C点坐标为（0，-2），
∵（0+5）÷2=2.5，
（3-2）÷2=0.5，
∴D点坐标为（2.5，0.5），
当直线y=-x+b过点D（2.5，0.5）时，
0.5=-2.5+b，
解得：b=3，
0=-（1+t）+3，
解得t=2．
∴t为2时，点M关于l的对称点落在y轴上．