Question

如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；

（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）PD与圆O相切；理由见解析；（2）25；（3）900+．

【解析】

试题分析：（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D；

（2）首先由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE•cos30°=25；

（3）由（2）易得HC=（25-4k），又由PD2=PA×PC，可得方程：（8k）2=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积．

试题解析：（1）PD与圆O相切．

理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，

∵DE是直径，

∴∠DAE=90°，

∴∠AED+∠ADE=90°，

∵∠PDA=∠ABD=∠AED，

∴∠PDA+∠ADE=90°，

即PD⊥DO，

∴PD与圆O相切于点D；

（2）∵tan∠ADB=

∴可设AH=3k，则DH=4k，

∵PA=AH，

∴PA=（）k，

∴PH=4k，

∴在Rt△PDH中，tan∠P=，

∴∠P=30°，∠PDH=60°，

∵PD⊥DO，

∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，

连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，

∴BD=DE•cos30°=25；

（3）由（2）知，BH=25-4k，

∴HC=，

又∵PD2=PA×PC，

∴（8k）2=（4-3）k×[4k+]，

解得：k=4-3，

∴AC=3k+=24+7，

∴S四边形ABCD=BD•AC=×25×（24+7）=900+．

考点：圆的综合题．