Question

如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A₁B₁C₁．

（1）将△ABC，△A₁B₁C₁如图②摆放，使点A₁与B重合，点B₁在AC边的延长线上，连接CC₁交BB₁于点E．

①求证：四边形C₁B₁AB为梯形.

②若∠A=45°, ∠ABC=30°, 求∠B₁C₁C的度数   

（2）若将△ABC，△A₁B₁C₁如图③摆放，使点B₁与B重合，点A₁在AC边的延长线上，连接CC₁交A₁B于点F．试判断∠A₁C₁C与∠A₁BC是否相等，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若AC＝3，B₁C₁＝6，设A₁B＝x，C₁F＝y，写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

Answer

（1）①证明见解析，②60°. （2）相等，理由见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）①根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由△ABC≌△A1B1C1可得B1C∥C1A和BC1≠B1A，从而得证. ②由角的等量转换可由求解.

（2）由△C1BC∽△A1BA可得结论.

（3）由△BC1F∽△B A1C1可得结论.

（1）①如图，依题意知：△ABC≌△A1B1C1，∴∠A＝∠2，BB1＝BA，BC1＝CA，∠3＝∠4.

∵BB1＝BA，∴∠1＝∠A. ∴∠1＝∠2. ∴B1C∥C1A.

∵BC1＝CA，∴BC1≠B1A.

∴四边形C1B1AB为梯形.

②∵∠A=45°, ∠1＝∠A，∠1＝∠2, ∴∠2＝45°.

∵∠3＝∠4, ∠3=30°, ∴∠4=30°.

∵BC1∥AC, BC1＝AC，∴CA BC1是平行四边形. ∴∠6＝∠A＝45°.

∴.

（2）结论是：∠A1C1C＝∠A1BC，理由如下：

如图，易证：△C1BC∽△A1BA，

∴∠3＝∠A.

∵∠A＝∠4，∴∠3＝∠4.

又∠C1FA1＝∠CFB，∴∠A1C1C＝∠A1BC.

（3）∵BC=B1C1，∴∠3＝∠5. ∴∠4＝∠5.

又∵∠2＝∠2，∴△BC1F∽△B A1C1.∴.

∵A1C1＝AC＝3，BC1＝B1C1＝6， A1B＝x，C1F＝y，∴.

∴y与x的函数关系式为.

考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等腰三角形的判定和性质；3. 梯形的判定；4. 平行四边形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.三角形内角和定理；7.由实际问题列函数关系式.