Question

如图，一次函数y＝kx＋3的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，与反比例函数的图象在第四象限相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，－6）且S_△DBP＝27.

（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；

（2）设点Q是一次函数y＝kx＋3图象上的一点，且满足△DOQ的面积是△COD面积的2倍，直接写出点Q的坐标.

（3）若反比例函数的图象与△ABP总有公共点，直接写出n的取值范围.

Answer

（1）y=x+3，；（2）（-4，9）或（4，-3）；（3）-36≤n＜0．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形面积求出BP，得出P的坐标，代入函数的解析式求出即可.

（2）根据面积求出QM，即可得出Q的横坐标，代入求出Q的纵坐标即可.

（3）根据P、A、B的坐标即可得出答案．

（1）∵一次函数y=kx+3的图象交y轴于点D，∴OD=3.

∵B（0，-6），∴BD=3+6=9.

∵S△DBP=27，∴由三角形面积公式得：BP=6. ∴P点的坐标是（6，-6）.

把P的坐标代入y=kx+3得：.

一次函数的解析式是y=x+3.

把P的坐标代入得：m=-36.

∴反比例函数的解析式是.

（2）∵一次函数y=x+3.的图象交x轴于点C，

∴把y=0代入求出x=2，即C的坐标是（2，0），OC=2.

分为两种情况：当Q在射线DC上时，过Q作QM⊥y轴于M，

∵△DOQ的面积是△COD面积的2倍，

∴根据等高的三角形的面积比等于对应的边之比得：DQ=2DC，

∵△DOC∽△DMQ，

∴，∴MQ=2OC=4.

把x=4代入y=x+3得：y=-3，即此时Q的坐标是（4，-3）.

当Q在射线CD上时，同法求出QM=4，

把x=-4代入y=x+3得：y=-3，即此时Q的坐标是（-4，9）.

∴Q的坐标是（-4，9）或（4，-3）.

（3）∵A（6，0），B（0，-6），P（6，-6），反比例函数的图象与△ABP总有公共点，

∴当反比例函数图象过P点时，求出n=-36.

∴n的取值范围是-36≤n＜0．

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似砍到的判定和性质；4.分类思想的应用．