Question

在矩形ABCD中，DC=，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

（1）求证：△DEC∽△FDC；

（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

Answer

（1）详见解析；（2）sin∠FBD= ；BC=．

【解析】

试题分析：（1）掌握三角形相似的判定方法，其中两角对应相等，两个三角形相似是最常用的方法.

（2）虽是求sin∠FBD，用的知识点都是三角形相似的性质，再用勾股定理，角的正弦公式可求出.

试题解析：证明：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，

∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，

∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，

∴FE：FC=1：3，

∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；

设EF=x，则FC=3x，

∵△DEC∽△FDC，

∴=，即可得：6x2=6，

解得：x=1，

则CF=3，

在Rt△CFD中，DF=，

∴BC=2DF=．

考点：1.相似三角形的判定、性质;2.勾股定理；3.三角函数.