Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．

（1）求AD的长；

（2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围

（3）当t为何的值时，以EE为半径的⊙F与CD边只有一个公共点．

Answer

（1）cm．（2），0＜t＜5．（3），，.

【解析】

试题分析：（1）首先根据已知条件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行线的性质（两直线AD∥CB，内错角∠ADB=∠DBC）证明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的对应边成比例求得AD的长度；

（2）过点E作BC的垂线，垂足为G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函数求得EG=t，然后利用割补法求得四边形EFDB的面积；

（3）进行分类讨论.

（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，所以BD=8cm．

因为AD//BC，所以∠ADB=∠CBD．

在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=，

所以AD=BD cos∠ADB=cm．

（2）△BCD的面积为24．

如图，过点E作EH⊥AB，垂足为H．

在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，所以EH=CE sin∠C=t．

因此．

所以．定义域为0＜t＜5．

（3）①如图1，当⊙F经过点D，则⊙F与边CD有两个交点

所以过点D作DH⊥BC，EK⊥BC

所以DF=EF

所以在Rt△DFH和Rt△EFK中，

所以当⊙F与边CD只有一个交点。

②如图2，

当时，⊙F与边CD相切

③如图3，时，⊙F经过点C，所以当时，⊙F与边CD只有一个交点。

综上所述，当，，时，⊙F与边CD只有一个交点。

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.直角梯形；4.直线与圆的位置关系.