Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点，顶点为，点在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形是一个边长为2且有一个内角为的菱形．求此二次函数的表达式．

Answer

y=（x-1）2-1；y=（x-1）2-；y=-（x-1）2+1；y=-（x-1）2+．

【解析】

试题分析：根据题意，画出图形，可得以下四种情况：

（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；

（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；

（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；

（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下，

解答时都利用四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的条件根据解直角三角形的相关知识解答．

本题共有4种情况．

设二次函数的图象的对称轴与x轴相交于点E．

（1）如图①，

当∠CAD=60°时，

因为ACBD是菱形，一边长为2，

所以DE=1，BE=，

所以点D的坐标（1，1），点C的坐标为（1，-1），

解得k=-1，a=．

所以y=（x-1）2-1．

（2）如图②，当∠ACB=60°时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，-）．

解得k=-，a=，

所以y=（x-1）2-．

同理可得：y=-（x-1）2+1，y=-（x-1）2+．

考点：二次函数综合题．