Question

在□ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．

（1）试说明：AE⊥BF；

（2）判断线段DF与CE的大小关系，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）DF=CE．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．

（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．

（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分）

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

（2）线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，

∵在▱ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．

∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．（6分）

同理可得，CF=BC．

又∵在▱ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE-EF=CF-EF．

即DF=CE．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.平行四边形的性质．