Question

小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_{四边形ABCD}=S_△ABF（S表示面积）

问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km²）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）

拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（，）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

Answer

问题情境：证明见解析；问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小；实际应用：10.3km2．拓展延伸：10.

【解析】

试题分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；

问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；

拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；

当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．

问题情境：∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．

∵点E为DC边的中点，

∴DE=CE．

∵在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴S△ADE=S△FCE，

∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，

即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，

由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．

∵S四边形MOFG＜S△EOF，

∴S△MON＜S△EOF，

∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3，

作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，

在Rt△OPP1中，

∵∠POB=30°，

∴PP1=OP=2，OP1=2．

由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，

∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．

在Rt△OMM1中，

tan∠AOB=，

2.25=，

∴OM1=，

∴M1P1=P1N=2-，

∴ON=OP1+P1N=2+2-=4-．

∴S△MON=ON•MM1=（4-）×4=8-≈10.3km2．

拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，

∵C（，），

∴∠AOC=45°，

∴AO=AD．

∵A（6，0），

∴OA=6，

∴AD=6．

∴S△AOD=×6×6=18，

由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，

∴四边形ANMO的面积最大．

作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，

∴M1P1=P1A=2，

∴OM1=M1M=2，

∴MN∥OA，

∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANMM1=×2×2+2×4=10

②如图5，

当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，

∵C（，）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴y=-x+9，

当y=0时，x=9，

∴T（9，0）．

∴S△OCT=××9=．

由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，

∴四边形CMNO的面积最大．

∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，

∴4=-x+9，

∴x=5，

∴M（5，4），

∴OM1=5．

∵P（4，2），

∴OP1=4，

∴P1M1=NP1=1，

∴ON=3，

∴NT=6．

∴S△MNT=×4×6=12，

∴S四边形OCMN=-12=＜10．

∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．

考点：四边形综合题．