Question

如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．

(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；

(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；

(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）y=x+或y=x-；（3）S=13-5x，18，8.

【解析】

试题分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD与圆相交于点D，故直线CD与⊙O相切；

（2）分两种情况，①D1点在第二象限时，②D2点在第四象限时，再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系；

（3）设D（x，y0），有S=BD2=（26-10x）=13-5x；再根据x的范围可得面积的最大最小值．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD⊥CD，

∵A、O、D在同一条直线上，

∴∠ODC=90°，

∴直线CD与⊙O相切．

（2）【解析】
直线CD与⊙O相切分两种情况：

①如图1，

设D1点在第二象限时，

过D1作D1E1⊥x轴于点E1，设此时的正方形的边长为a，

∴（a-1）2+a2=52，

∴a=4或a=-3（舍去），

∵Rt△BOA∽Rt△D1OE1

∴，

∴OE1=，D1E1=，

∴D1(−，)．

∴直线OD的函数关系式为y=−x．

∵AD1⊥CD1，

∴设直线CD1的解析式为y=x+b，

把D1(−，)代入解析式得b=；

∴函数解析式为y=x+．

②如图2，

设D2点在第四象限时，过D2作D2E2⊥x轴于点E2，

设此时的正方形的边长为b，则（b+1）2+b2=52，

解得b=3或b=-4（舍去）．

∵Rt△BOA∽Rt△D2OE2，

∴，

∴OE2=，D2E2=，

∴D2(，−)，

∴直线OD的函数关系式为y=−x．

∵AD2⊥CD2，

∴设直线CD2的解析式为y=x+b，

把D2(，−)代入解析式得b=-；

∴函数解析式为y=x-．

（3）【解析】
设D（x，y0），

∴y0=±，

∵B（5，0），

∴BD2=（5-x）2+（1-x2）=26-10x，

∴S=BD2=（26-10x）=13-5x，

∵-1≤x≤1，

∴S最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．

考点：1.切线的判定；2.一次函数综合题；3.正方形的性质；4.相似三角形的判定与性质．