Question

在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE．  

⑴ 当t为何值时，线段CD的长为4；

⑵ 当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；

⑶ 当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？

Answer

(1) ; (2)  4-＜t≤; (3) 或．

【解析】

试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；

（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；

（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．

（1）过点C作CF⊥AD于点F，

在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，

∴∠ABO=30°，

由题意得：BC=2t，AD=t，

∵CE⊥BO，

∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，

∵CF⊥AD，AO⊥BO，

∴四边形CFOE是矩形，

∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，

在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，

∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，

解得：t=，t=4，

∵0＜t＜4，

∴当t=时，线段CD的长是4；

（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），

∵AD∥CE，AD=CE=t

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴DE∥AB

∴∠GEO=30°，

∴OG=OE=（4-t）

当线段DE与⊙O相切时，则OG=，

∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．

∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；

（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；

当⊙C与⊙O内切时，t=；

∴当t=或秒时，两圆相切．

考点：圆的综合题．