Question

在平面直角坐标系xOy中，已点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过D作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D(其中点C、D按顺时针方向排列)，连接AB．

(1)当OC//AB时，∠BOC的度数为   

(2)连接AC、BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

(3)连接AD，当OC//AD时，

①求出点C的坐标；

②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

Answer

(1) 45°或135°；(2) 当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．(3) （-，），（，）；是，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，从而得出答案；

（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；

（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则，即，得出CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；

②由于OC=3，OF=，得出∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，从而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．

（1）∵点A（6，0），点B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°，

当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°，

∴∠OBA=45°或135°；

(2) ∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，

如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，

∵△OAB为等腰直角三角形，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+OE=3+3，

△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18，

当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．

(3) 如图：当C在第二象限时，过点C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°，

∵OC∥AD，

∴∠COF=∠DAO，

∴∠ADO=∠COD=90°，

∴∠ADO=∠CFO，

∴△OCF∽△AOD，

∴，即，

解得：CF=，

在Rt△OCF中，OF=，

∴C点的坐标为（-，），

同理，当C在第一象限时，C点的坐标是（，），

∴C点的坐标为（-，），（，）；

②直线BC为为⊙O的切线，理由如下：

如图：在Rt△OCF中，OC=3，CF=，

∴sin∠COF=

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

在△BOC和△AOD中，

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直线BC是⊙O的切线；

考点：圆的综合题．