Question

为了激发学生学习英语的兴趣，某中学举行了校园英文歌曲大赛，并设立了一、二、三等奖。学校计划根据设奖情况共买50件奖品，其中购买二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍件数还少10件，购买三等奖奖品所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，且三等奖奖品数不能少于前两种奖品数之和．其中各种奖品的单价如下表所示，如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元．

(1)用含有x的代数式表示：该校团委购买二等奖奖品多少件，三等奖奖品多少件？并表示w与x的函数关系式；

(2)请问共有哪几种方案？

(3)请你计算一下，学校应如何购买这三种奖品，才能使所支出的总费用最少，最少是多少元？

Answer

（1）购买二等奖为（2x-10）件；购买三等奖为（60-3x）件，w=17x+200；（2）20种方案；（3）当购买一等奖10件，二等奖10件，三等奖30件时所花的费用最少，最少为370元．

【解析】

试题分析：（1）设一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件为（2x-10），进一步表示出三等奖；分别算出三种奖品的费用相加即是总费用；

（2）再根据题意列出不等式组即可求解；

（3）一次函数的系数k=17，故根据函数的性质可知w随x的增大而增大．根据题（1）可求最小值．

（1）购买二等奖为（2x-10）件；购买三等奖为（60-3x）件．

w=12x+10（2x-10）+5[50-x-（2x-10）]=17x+200；

（2）由题意可得：

，

解得：10≤x＜20，

∵x为整数，

∴共有20种方案；

（3）∵k=17＞0，

∴w随着x的增大而增大，

∴当x=10时，w有最小值，最小值为w=17×10+200=370（元）．

答：当购买一等奖10件，二等奖10件，三等奖30件时所花的费用最少，最少为370元．

考点：1.一次函数的应用；2.一元一次不等式组的应用．