Question

如图，正方形ABCD中，BE=CF．

(1)求证：△BCE≌△CDF；

(2)求证：CE⊥DF；

(3)若CD=4，且DG²＋GE²=18，则BE=    ．

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，可得DC=BC，∠DCF=∠CGE，结合BE=CF，于是可以证明△BCE≌△CDF；

（2）由△DCF≌△CBE得到∠BCE=∠CDF，结合角角之间的数量关系，证明出CE⊥DF；

（3）连接DE，首先证明△DGE是直角三角形，利用勾股定理结合正方形的性质即可求出AE．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=BC，∠DCF=∠CGE，

∵在△DCF和△CBE中，

，

∴△DCF≌△CBE（SAS）；

（2）∵△DCF≌△CBE，

∴∠BCE=∠CDF，

∵∠CDF+∠DFC=90°，

∴∠BCE+∠DFC=90°，

∴∠CGF=90°；

（3）连接DE，

∵∠CGF=90°，

∴∠EGD=90°，

∴△DGE是直角三角形，

∵DE2=DG2+GE2=18，

∵CD=4，

∴AD=CD=4，

∴AE=.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理．