Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer

（1）；

（2）①x=﹣3时，l最大=15；

②点P有三个，分别是P1（，2），P2（，2），P3（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可；

（2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函数最值即可；

②当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，

所以得出P点坐标，当点F落在y轴上时，，解得，可得P点坐标．

试题解析：（1）对于，当y=0，x=2．当x=﹣8时，y=﹣．

∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（﹣8，﹣）．

由抛物线经过A、B两点，

得

解得．

∴；

（2）①设直线与y轴交于点M，

当x=0时，y=．∴OM=．

∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2．∴AM=．

∵OM：OA：AM=3：4：5．

由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．

∴DE：PE：PD=3：4：5．

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，

∵PD⊥x轴，

∴PD两点横坐标相同，

∴PD=yP﹣yD=﹣（）=﹣x2﹣x+4，

∴．

∴x=﹣3时，l最大=15；

②当点G落在y轴上时，如图2，

由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即，解得，

所以P1（，2），P2（，2），

如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS⊥x轴于点S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P点横纵坐标相等，

故得当点F落在y轴上时，

，解得，

可得P3（，），P4（，），（舍去）．

综上所述：满足题意的点P有三个，分别是P1（，2），P2（，2），P3（，）．

考点：二次函数综合题．