Question

如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点(不与A，B重合)，过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

(1)在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长．

Answer

（1）CD与⊙O相切．证明见解析；（2）QC= ．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；

（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB，可计算出BC，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．

试题解析：（1）CD与⊙O相切．理由如下：

连结OC，如图，

∵OC=OB，

∴∠2=∠B，

∵DQ=DC，

∴∠1=∠Q，

∵QP⊥PB，

∴∠BPQ=90°，

∴∠Q+∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，

∴OC⊥CD，

而OC为⊙O的半径，

∴CD为⊙O的切线；

（2）连接AC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，cosB=，

而BP=6，AP=1，

∴BC=，

在Rt△BPQ中，cosB=，

∴BQ=10，

∴QC=BQ﹣BC=10﹣=．

．

考点：1.切线的判定2.解直角三角形．