Question

如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．

（1）求证：△ADE≌△CBF ；

（2）当AD⊥BD时，请你判断四边形BFDE的形状，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．

（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．

试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴AE=CF．

在△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）【解析】
若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．

证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中点，

∴DE=AB=BE．

∵在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∴四边形BFDE是菱形．

考点：1.全等三角形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定．