Question

在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．

（1）求圆形区域的面积；

（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（≈1.7，保留三个有效数字）；

（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答。

Answer

（1）25π；（2）16.2；（3）A船不会进入海洋生物保护区．

【解析】

试题分析：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，由圆周角定理、勾股定理得OC=，则半径OO′=5，S⊙O′=π•52=25π．

（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，由勾股定理AD=x，根据图形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6（+1）≈16.2

（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以O′F=9+3-4=5+3＞5．

（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，

∴∠CBO=90°，

设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．

则OC为⊙O′的直径．

由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=

半径OO′=5，S⊙O′=π•52=25π．

（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，

在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，

由勾股定理得，AD=，

由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=x

∴x=3（+1），

∴AB=2x=6（+1）≈16.2

（3）过点A作AG⊥y轴于点G．

过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．

由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=3．

∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4

∵四边形FEDA为矩形．

∴EF=DA，而AD=x=9+3

∴O′F=9+3-4=5+3＞5，

∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．

考点: 1.勾股定理的应用；2.点与圆的位置关系．