Question

如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：CE=CF；

（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）CD=AB时，四边形CEDF为正方形，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD（ASA），∴CE=CF；

（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．

（1）证明：∵CD垂直平分线AB，

∴AC=CB．

∴△ABC是等腰三角形，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠BCD．

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°

∴∠EDC=∠FDC，

在△DEC与△DFC中，

，

∴△DEC≌△DFC（ASA），

∴CE=CF．

（2）【解析】
当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=∠CDA=90°，

∵CD=AB，

∴CD=BD=AD，

∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，

∴∠ACB=90°，

∴四边形ECFD是矩形，

∵CE=CF，

∴四边形ECFD是正方形．

考点: 1.线段垂直平分线的性质；2.正方形的判定．