Question

已知矩形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，－3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．

（1）求P点的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）如图，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．

①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；

②当t＞4时，设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E，问：是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（，－）；（2）①当0＜t≤时，S=×=t2 ；当＜t≤时，S=2×= ；当＜t＜4时，S=4；②t=5或.

【解析】

试题分析：（1）设PN与x轴交于点D，先由矩形的性质得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中运用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根据相似三角形对应边成比例得出OD=，PD=，即可确定P点的坐标；

（2）①分三种情况进行讨论：（i）当0＜t≤时，设PQ与y轴交于点E，则S=S矩形ODPE=OD•PD；（ii）当＜t≤时，设PN与x轴交于点D，QM与x轴交于点F，则S=S矩形PQFD=PQ•PD；（iii）当＜t＜4时，S=S正方形PQMN；

②分三种情况进行讨论：（i）当4＜t≤5时，根据三角形外角的性质得出∠DPE＞∠DBE=90°，则△PDE不可能为直角三角形；（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；（iii）当t＞5时，由于∠DPE＜∠DBE=90°，则当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可．

试题解析：（1）P（，－）

（2）①当0＜t≤时，S=×=t2

当＜t≤时，S=2×=

当＜t＜4时，S=4

②当QM运动到AB位置时，恰好无公共部分，＜4＋2，即t＜.

（ⅰ）当4＜t＜5时，∠DPE＞∠DBE=90º，△PDE不可能为直角三角形

（ⅱ）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90º，此时△PDE是直角三角形

（ⅲ）当5＜t＜时，∠DPE＜90º，还有两种可能，∠PDE=90º或∠PED=90º.

若∠PDE=90º，则，可得，整理得9t2－160t＋675=0，

解得，应取

若∠PED=90º，则，可得，整理得8t2－115t＋425=0，

注意到△＜0，该方程无实数解(10分)

综上所述，符合条件的t的值有两个，t=5或.

考点：相似形综合题．