Question

在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．

（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=BM；

（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是         ；

（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD+2DE=BM；（3）．

【解析】

试题分析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

（3）根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，求出FM长即可．

试题解析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C=90°，

∴FM∥CD，

∴∠NDE=∠MFE，

∴FM=BM，

∵BM=DN，

∴FM=DN，

在△EFM和△EDN中，

，

∴△EFM≌△EDN，

∴EF=ED，

∴BD-2DE=BF，

根据勾股定理得：BF=BM，

即BD-2DE=BM．

（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=BM，

（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，

∵DE=，

∴CM=2，

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△DNF，

∴AF：FD=AB：ND，

∵AF：FD=1：2，

∴AB：ND=1：2，

∴CD：ND=1：2，

CD：（CD+2）=1：2，

∴CD=2，∴FD=，

∴FD：BM=1：3，

∴DG：BG=1：3，

∴DG=．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.相似三角形的判定与性质．