Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=，BC－AC=2，求CE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=（）2，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．

试题解析：证明：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

又∵DC=CB，

∴AD=AB，

∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，则AC=x-2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（x-2）2+x2=（）2，

解得x=3或－5（舍去）即BC=5

又∵⊙O中，∠E=∠B，

∴∠D=∠E

∴CE=CD=BC=5

考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的判定与性质；3.勾股定理．