Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣12；

(2)①S=﹣(t﹣3)2+9，（0＜t＜6），

②当t=3时，S取最大值为9,点R坐标为（3，﹣18），理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）把点A代入解析式求出c和a，最后根据抛物线的对称轴求出b，即可求出最后结果．

（2）①本题需根据题意列出S与t的关系式，再整理即可求出结果．

②本题需分三种情况：当点R在BQ的左边，且在PB下方时；当点R在BQ的左边，且在PB上方时；当点R在BQ的右边，且在PB上方时，然后分别代入抛物线的解析式中，即可求出结果．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

由题意知点A（0，﹣12），

所以c=﹣12，

又18a+c=0，

，

∵AB∥OC，且AB=6，

∴抛物线的对称轴是x=，

∴b=﹣4，

所以抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣12；

（2）①S=·2t(6﹣t)=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9，（0＜t＜6），

②当t=3时，S取最大值为9．

这时点P的坐标（3，﹣12），

点Q坐标（6，﹣6），

若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：

（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），

（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．

（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．

综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．

考点：二次函数综合题．