Question

如图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x²－2x＋l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．

(1)设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y＝x＋m的交点为C，连结BM、BN，若S△MBC＝S△NBC，求直线MN的解析式；

(2)在(1)条件下，已知点P(t，0)为x轴上的一个动点，

①若△PMN为直角三角形，求点P的坐标．

②若∠MPN>90°，则t的取值范围是      ．

Answer

（1）直线MN的解析式为y=x+1；

（2）①若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，P1的坐标为（，0）；

若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，P2的坐标为（，0）；

若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，P3的坐标为（，0）；

②＜t＜．

【解析】

试题分析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E，根据已知条件可求出m的值，进而得到直线解析式；

（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F，因为直角三角形的斜边不确定，所以要分三种情况分别讨论，求出符合题意的t值，即可求出P的坐标；②由①可知当若∠MPN=90°，P的坐标，进而可求出∠MPN＞90°，则t的取值范围．

试题解析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得x2﹣5x+2﹣2m=0，

则x1+x2=5①，x1•x2=2﹣2m②．

过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E．

∵S△MBC=S△NBC，

∴MD=NE，即2﹣x1=（x2﹣2），

∴x1=﹣x2+ ③，

③代入①，得x2=5，x1=0，

代入②，得m=1，

∴直线MN的解析式为y=x+1；

（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F（﹣2，0）．

若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，

∴，

∴t=，

∴P1的坐标为（，0）；

若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，

∴，

∴t=，

∴P2的坐标为（，0）；

若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，

∴，

∴2t2﹣10t+7=0，

解得：t=，

∴P3的坐标为（，0）；

②由①可知P3的坐标为（，0），

∵∠MPN＞90°，

∴＜t＜．

．

考点：二次函数综合题．