Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．

(1)求证：四边形BMDN是菱形；

(2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）菱形BMDN的面积为20，MN=2．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣16x+64+16，求出即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中

，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形；

（2）∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴菱形BMDN的面积为：MD×AB=5×4=20，

∵AB＝4，AD＝8，

∴BD=4

∵菱形BMDN的面积还可以表示为：BD×MN=2 MN

∴2 MN=20

∴MN=2．

考点：1.矩形的性质2.菱形的性质3.菱形的判定．