Question

课本回顾

如图，用半径R＝3cm，r＝2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a＝4cm，b＝2cm，则内孔直径D的大小为      ．

问题拓展

如图，在矩形ABCD内，已知⊙O₁与⊙O₂互相外切，且⊙O₁与边AD、DC相切，⊙O₂与边AB、BC相切．若AB＝4，BC＝3，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r，R．求O₁O₂的值．

灵活运用

如图，某市民广场是半径为60米，圆心角为90°的扇形AOB，广场中两个活动场所是圆心在OA、OB上，且与扇形OAB内切的半圆☉O_1、☉O₂，其余为花圃．若这两个半圆相外切，试计算当两半圆半径之和为50米时活动场地的面积.

Answer

(1)9cm；（2）7-2；（3）650π平方米．

【解析】

试题分析：（1）利用相切两圆的性质得出AB=5cm，再利用已知得出BC的长，由勾股定理求出AC的长，即可得出EF的长；

（2）连接O1、O2，并分别过O1、O2作AB、BC的平行线，则O1O22=O1 E2+O2E2，进而求出R+r的值即可；

（3）当两圆半径之和为50米时，有O1O=60-r，O2O=60-R，O1O2=50，则（60-r）2+（60-R）2=502，即可得出R2+r2，进而利用圆的面积公式求出即可．

（1）如图1，

∵半径R=3cm，r=2cm，a=4cm，b=2cm，

∴AB=5cm，BC=3+4-4=3（cm），

∴AC=4cm，

∴D=EF=AF+EC+AC=3+4+2=9（cm）.

（2）如图2，连接O1、O2，并分别过O1、O2作AB、BC的平行线．

则O1O22=O1 E2+O2E2．

即（R+r）2=[4-（R+r）]2+[3-（R+r）]2

化简得：（R+r）2-14（R+r）+25=0，

解得：O1O2=r+R=7-2或7+2（不合题意舍去）；

（3）当两圆半径之和为50米时，

有O1O=60-r，O2O=60-R，O1O2=50，

则（60-r）2+（60-R）2=502．

即R2+r2-120（R+r）+4700=0．

∴R2+r2=1300．

∴活动场所面积=πR2+πr2=π•1300=650π（平方米）．

考点：圆的综合题．