Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．

（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；

（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q 坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)作图见解析；（2）点P坐标为（1，-1）．（3）⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．

【解析】

试题分析：（1）作出AC与BC线段垂直平分线得出交点即为圆心，进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可；

（2）过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE，在Rt△BPD中，BP2=x2+32，在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12，由BP=CP，求出x的值，即可得出P点坐标；

（3）利用相似三角形的判定得出△Q1BC∽△ACO，进而结合圆周角定理得出Q点坐标．

（1）如图1所示：

（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．

∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．

∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．

∴PE=OD=1．

设DP=x，则OE=PD=x．

在Rt△BPD中，BP2=x2+32．

在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12．

∵BP=CP，

∴x2+32=（x+2）2+12．

解得：x=1．

∴点P坐标为（1，-1）．  

（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q1，连接CQ1，

则BQ1是直径，

∴∠Q1CB=90°，

又∵∠CAB=∠CQ1B，

∴△Q1BC∽△ACO，

此时连接AQ1则∠Q1AB=90°，

∴Q1横坐标为：-2，

∵AB=6，BQ1=2BP=2，

∴AQ1=2，

∴Q1（-2，-2），

同理构造直角三角形CFQ2，

可得出：CF=6，CQ2=2，

∴FQ2=2，FO=4，

则Q2（2，-4），

综上所述：⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．

考点：圆的综合题．