Question

已知抛物线y=x²+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B（-2,0），顶点为A.

（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；

（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标；

（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)A点的坐标为（﹣2，6）；

（2）D点的坐标为：（2，﹣2）；

（3）存在．直线MN的解析式为y=6或y=﹣x+2．

【解析】

试题分析：（1）首先依据顶点坐标先求出b的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，通过三角形全等即可求得点D的坐标．

（3）由于三角形的各边，只有OB=2是确定长度的，因此可以以OB为基准进行分类讨论：

①OB=OM．因为第二象限内点P到原点的距离均大于4，因此OB≠OM，此种情形排除；

②OB=ON．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；

③OB=MN．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．

试题解析：（1）∵对称轴与x轴交于点B（﹣2，0），

∴A的横坐标为：x=﹣2，

∴﹣=﹣2，

解得；b=﹣2，

∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+c，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点（﹣6，﹣2），

∴代入得﹣2=﹣×（﹣6）2﹣2×（﹣6）+c，解得c=4，

∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+4，

∴y=﹣x2﹣2x+4=﹣（x2+4x+4）+6）=﹣（x+2）2+6

∴A点的坐标为（﹣2，6）；

（2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，

∵∠CBD=90°，

∴∠CBO+∠EBD=90°，

∵∠BCO+∠CBO+90°，

∴∠EBD=∠BCO，∠CBO=∠BDE，

∴在△CBO与△BDE中

∴△CBO≌△BDE（ASA）

∴DE=OB=2，BE=OC=4

∴D点的坐标为（2，﹣2）或（﹣6.2），

把（2，﹣2）或（﹣6.2）分别代入y=﹣x2﹣2x+4，（﹣2，2）合适，（﹣6，2）不合适，

∴D点的坐标为：（2，﹣2）

图1

（3）存在．

若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等，可能有以下情形：

（I）OB=OM．

由图象可知，OM最小值为4，即OM≠OB，故此种情形不存在．

（II）OB=ON．

若点M在y轴正半轴上，如答图2所示：

图2

此时△OBM≌△OMN，

∴∠OMB=∠OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，4），

∴直线PE的解析式为：y=﹣x+2；

若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．

（III）OB=MN．

∵OB=2，

∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2，

则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合．

若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知△OMN为钝角三角形，而△OMB为锐角三角形，则不可能全等；

若点M与点A重合，如答图3所示，此时△OBM≌△OMN，四边形MNOB为矩形，

图3

∴直线MN的解析式为：y=6．

综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=﹣x+2．

考点：二次函数综合题．