Question

如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC.

（1）求证：AC²＝AB·AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积.

Answer

（1）证明见解析 （2） cm2

【解析】

（1）证明：∵＝，

∴∠ACD＝∠ABC，又∠BAC＝∠CAF，

∴△ACF∽△ABC，

∴＝，即AC2＝AB·AF；

（2）【解析】
连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，

如图所示：

∵∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

又OA＝OC，

∴∠AOE＝∠COE＝×120°＝60°，

在Rt△AOE中，OA＝2cm，

∴OE＝OAcos60°＝1cm，

∴AE＝＝cm，

∴AC＝2AE＝2cm，

则S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝－×2×1＝cm2.