Question

如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.

（1）若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.

Answer

（1）2 （2）证明见解析

【解析】

（1）【解析】
∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，

∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°；

又∵AB＝2，∠P＝30°，

∴AP＝＝＝2，

即AP＝2.

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP＝90°；

又∵D为AP的中点，

∴AD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的对应角相等）；

又∵AP是⊙O的切线，A是切点，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD＝90°，

∴∠OCD＝90°，即直线CD是⊙O的切线.