Question

如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：（1）作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

（2）连接AB，AC，BC，△ABC即为所求的三角形.

乙：（1）以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点.

（2）连接AB，BC，CA.△ABC即为所求的三角形.

对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

A.甲、乙均正确          B.甲、乙均错误

C.甲正确、乙错误        D.甲错误、乙正确

Answer

A

【解析】根据甲的思路，作出图形如图：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE＝DE＝OD，又OB＝OD，

在Rt△OBE中，OE＝OB，

∴∠OBE＝30°，又∠OEB＝90°，

∴∠BOE＝60°，

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，

又∠BOE为△AOB的外角，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°，

同理∠C＝60°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，

∴△ABC为等边三角形，

故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如图：

连接OB，BD，

∵OD＝BD，OD＝OB，

∴OD＝BD＝OB，

∴△BOD为等边三角形，

∴∠OBD＝∠BOD＝60°，

又BC垂直平分OD，∴OM＝DM，

∴BM为∠OBD的平分线，

∴∠OBM＝∠DBM＝30°，又OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角，

∴∠BAO＝∠ABO＝30°，

∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，

同理∠ACB＝60°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，

∴△ABC为等边三角形，

故乙作法正确，

故选A.