Question

阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)²，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b＝(m＋n)²(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m²＋2n²＋2mn.

∴a＝m²＋2n²，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)²，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝________，b＝________；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：________＋________＝(______＋______)²；

(3)若a＋4＝(m＋n)²，且a、m、n均为正整数，求a的值．

Answer

(1)a＝m2＋3n2 b＝2mn

(2)4，2，1，1(答案不唯一)

(3)a＝13或7

【解析】(1)将(m＋n)2展开得m2＋2n2＋2mn，因为a＋b＝(m＋n)2，所以a＋b＝m2＋3n2＋2mn，根据恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根据(1)中a、b和m、n的关系式，取的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)将(m＋n)2展开，由(1)可知a、m、n满足再利用a、m、n均为正整数，2mn＝4，判断出m、n的值，分类讨论，得出a值．

【解析】
根据题意得，

∵2mn＝4，且m、n为正整数，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，

∴a＝13或7.