Question

把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．

Answer

(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；

(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.

(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.

【解析】

【解析】
(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，

则(40－2x)2＝484，

即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.

②侧面积有最大值．

设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，

则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，

即y＝－8x2＋160x，

改写为y＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.

(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，

2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，

解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.

∴剪掉的正方形的边长为15 cm.

答：(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；

(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.

(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.