Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，将△ACD沿对角线翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由．

(2)当AB＝4时，求此梯形的面积．

Answer

(1)点C在以AB为直径的圆上．理由见解析 (2)3

【解析】

【解析】
(1)点C在以AB为直径的圆上．

理由：连接MC、MD，

∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，

又∵∠1可由∠3翻折得到，

∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AD＝DC.

又∵AM＝AD，∴CD＝AM，又∵AM∥CD，

∴四边形AMCD是菱形，∴AM＝MC＝AD，

同理DM＝BM＝BC，又∵AD＝BC，

∴MA＝MD＝MC＝MB，

∴点C在以AB为直径的圆上．

(2)由(1)知AM＝MD＝AD＝AB＝2，

∴△AMD是等边三角形．

过点D作DE⊥AB于E，则AE＝AM＝×2＝1，

由勾股定理得DE＝＝＝.

所以S梯形ABCD＝ (AB＋CD)×DE

＝×(2＋4)×＝3.